Pensemos en las veces en que se nos “hizo un nudo en el estómago”, intentemos enlistar las causas y dividirlas en categorías, el vértigo podría ser una de nuestras clasificaciones y a pesar de que las situaciones puedan ser diferentes, las razones siempre pueden encasillarse. Ahora pasemos a un nudo con el que la matemática Lisa Piccirillo trabajó, uno que fue más parecido a un dolor de cabeza, pues durante 50 años fue un problema matemático sin solución, hasta que Piccirillo con su mente audaz lo categorizó usando nuevas estrategias.
Lisa Piccirillo estudió matemáticas en el Boston College en 2013 y luego fue a la Universidad de Texas, en Austin, a cursar un doctorado. En 2018 entró a “una conferencia sobre topología y geometría de baja dimensión, Lisa Piccirillo se enteró de un pequeño problema matemático”, cuenta Ian MacLellan en la revista Quanta Magazine 1.
La matemática decidió dedicarle su tiempo libre al problema que le acababan de presentar “El nudo de Conway”, tras una semana logró una solución, la compartió con su maestro y comenzaron los preparativos del artículo2 para informar a la comunidad matemática sobre su hallazgo.
El documento fue enviado a Annals of Mathematics, una revista fundada en 1884 y que tiene gran relevancia en su campo, en ella se han publicado teorías y soluciones a problemas importantes a lo largo de la historia, la revisión del artículo demoró un año, y su publicación otro, finalmente en febrero de 2020 fue dado a conocer.
El Nudo de Conway
La hazaña de Piccirillo se enfoca en un problema inserto en la Teoría de nudos, la cual estudia deformaciones (estirar o doblar) que se hacen a una “cuerda” anudada determinado número de veces y que tiene los extremos unidos, por lo que el nudo no puede deshacerse.
Esta teoría tiene aplicaciones en el estudio del ADN, es útil para modelar el anudado de las hebras; además, los conocimientos que genera también son importantes en la comprensión del universo y la física cuántica.
El nudo creado por John Horton Conway en 1970, era el único entre miles con menos de 13 cruces del no se sabía si tenía la cualidad de ser slice o no, lo que Picirillo hizo fue ingeniárselas para determinar qué era. El título de su artículo es directo: “no es slice”.
La respuesta no nos dice mucho a simple vista, pero la lógica nos lleva a considerar que si un problema de 50 años, pensado por diferentes mentes, muchas de ellas tan brillantes como Conway permaneció tanto tiempo sin solución, quizá sea porque el problema es complejo y resolverlo requiere mucho ingenio; así fue.
Invariantes, el trabajo cotidiano
Recordemos el ejercicio de clasificación para los nudos que podemos llegar a sentir en el estómago, esa idea de algo que subyace a las cosas y que se puede identificar en diferentes situaciones es una estrategia en matemáticas y en particular en la topología, área en la que se especializa Lisa y que estudia las propiedades que se conservan en los objetos geométricos a pesar de las deformaciones.
Para hacer categorías fundamentales se necesitan características esenciales y a estas en matemáticas se les define como invariantes topológicos, que serán cualidades, generalmente presentadas como un solo número, que no cambian sin importar qué hagamos o cómo movamos los nudos, por lo que nos permiten saber si dos nudos son el mismo o no.
Pero como cualquier nudo puede ser transformado en otro si se desanuda y vuelve a anudar, esa operación está prohibida, esa misma condición aplica en el caso de los cortes.
Por ahora no olvidemos la idea de que un invariante es una cualidad valiosa para determinar la identidad de los nudos.
Clasificar nudos es un asunto complejo, porque estos llegan a ocultar su identidad con movimientos tales como bucles, superponer partes o hebras que cruzan al otro lado del nudo, por ello se tienen invariantes para poder identificarlos, como la invariante tricolorable3 .
Con esta invariante se puede probar si un nudo es igual a otro, se colorean los segmentos del nudo y aunque hagas cualquiera de los tres movimientos antes mencionados, en las intersecciones de las hebras hay dos opciones para que califique como un nudo tricolorable: que en la intersección las hebras sean del mismo color o que cada una sea de un color distinto y cubriendo los tres colores existentes.
No se vale que falte uno o más, ahí ya no es tricoloreable.
Algunos nudos son buenos evadiendo estas pruebas, es el caso del Nudo de Conway, uno con 11 cruces, y no solo evadía esta prueba, evadía todas.
La copia que reveló al nudo original: un mutante
La propiedad slice está relacionada con una esfera anudada en cuatro dimensiones a la que se le hace un “corte”, sí, es algo técnico y requiere mucho entrenamiento para pensarse en cuatro dimensiones. Por ahora quedémonos con que se trata de que un nudo sea o no una parte de una esfera con varias dimensiones.
Piccirillo no inventó un nuevo invariante para poder develar la identidad del nudo, aprovechó uno llamado s de Rasmussen, descubierto en 2010, y llevó esta topología moderna a un problema antiguo.
De hecho el Nudo de Conway también evade al invariante s de Rasmussen, pero Lisa probó este invariante en un nudo diferente, uno más sencillo pero que en su esencia es gemelo al de Conway. Al nuevo nudo se le conoce como mutante y se logra girando un pedazo del de Conway (el de la línea roja de abajo).
Con el invariante s de Rasmussen el segundo nudo demostró no ser slice, por lo que el primero debía no serlo también
Mathema: conocimiento
En su libro Mathema: el arte del conocimiento, Fausto Ongay considera que «las matemáticas sirven a la vez de paleta, lienzo y modelo»; trabajos como los de Piccirillo nos recuerdan la belleza del trabajo mental, de unir los puntos para encontrar soluciones.
Además de poner su nombre en la historia de las matemáticas al solucionar un problema que perduró por medio siglo, con este trabajo que es muestra de sus capacidades, Lisa Piccirillo obtuvo en julio un lugar como profesora asistente en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT).
En septiembre de este año la fundación The Breakthrough Prize, que reconoce las innovaciones en ciencias biológicas, física fundamental y matemáticas, anunció a las ganadoras de una categoría inaugurada en 2019, en la que parte del premio son 50 mil dólares por ganadora, y el cual se llama “Premio nuevas fronteras Maryam Mirzakhani”.
Este galardón lleva el nombre de la destacada matemática Mirzakhani de origen iraní, quien fue la primera mujer en ganar la Medalla Fields, la más importante en esta ciencia, y que se le otorgó por sus aportes en la comprensión de esferas y objetos hiperbólicos. Maryam fue experta en álgebra, geometría hiperbólica, cálculo y análisis complejo, entre otras ramas.
Regresemos a los premios Breakthrough, estos son conocidos también como “el Oscar de las ciencias” y en la nueva categoría se valora a las carreras brillantes de matemáticas que hayan obtenido su doctorado en los últimos dos años, este 2020 fueron laureadas: Lisa Piccirillo, Nina Holden y Urmila Mahadev.
Holden por “trabajar en geometría aleatoria, particularmente en Liouville Quantum Gravity como límite de escala de triangulaciones aleatorias”; y Mahadev por “trabajos que aborden la cuestión fundamental de verificar el resultado de un cálculo cuántico”, según información de la fundación4.
Lisa Piccirillo, quien actualmente tiene 29 años, es organizadora de “Mujeres Distinguidas en Matemáticas en la Universidad de Texas”, una serie de seminarios dados por matemáticas que asesoran a estudiantes de posgrado y postdoctorado.
Asimismo es cofundadora de “Lead Organizer Trends in low-dimensional topology5”, un seminario con charlas de 25 minutos que se imparte cada semana desde abril de 2020 y que difunden el alcance de la topología moderna.
En las narraciones se le llama nudo a una parte especialmente relevante de las historias, la relación de esta palabra con lo sobresaliente se repite una vez más: Lisa Piccirillo vio una solución en donde otros no encontraron nada.
Fuentes:
- https://www.quantamagazine.org/math-invariants-helped-lisa-piccirillo-solve-conway-knot-problem-20200602/
- https://arxiv.org/pdf/1808.02923.pdf
- https://www.youtube.com/watch?v=WXVItJnZiWc
- https://breakthroughprize.org/News/60
- https://sites.google.com/bc.edu/virtualtopology/home
- https://www.youtube.com/watch?v=gz-MN3s-jcQ
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